¿La construcción «el uno con el otro» es invariable?

No lo es. Cuando se establece una correlación entre las voces uno y otro para expresar una acción recíproca, lo preferible es que las dos se escriban con artículo (el uno al otro, el uno con el otro…) o las dos sin él (uno a otro, uno con otro…). Se recuerda que los elementos concuerdan en número y suelen concordar también en masculino incluso si los referentes son de distinto sexo, aunque en este caso se admite la variación de género: el uno a la otra.