¿Cuándo se usa «a sí mismo», «así mismo» y «asimismo»?

De acuerdo con la segunda edición del Diccionario panhispánico de dudas, la grafía asimismo significa ‘también’ y resulta preferible a así mismo, que debe reservarse para el sentido de ‘de la misma forma, de la misma manera’. Por su parte, a sí mismo está formada por la preposición a, el pronombre reflexivo sí y el adjetivo mismo. 

Ejemplos:  Han pronosticado, asimismo, fuertes lluvias en el norte; Hizo el trabajo así mismo; Se preguntó a sí mismo si debía ir.