¿Cuáles es la diferencia entre «hay», «ay» y «ahí»?

Ahí es un adverbio que se emplea con el sentido de ‘en ese lugar’, como se observa en María vive ahí; Puse los papeles ahí encima. Hay es una forma del verbo haber, expresa ‘existencia’ y se conjuga siempre en tercera persona del singular: Hay tres libros sobre la mesa. Por otra parte, ay es una interjección usada para expresar muchos y muy diversos movimientos del ánimo, y más ordinariamente aflicción o dolor: ¡Ay, qué dolor!